Гаврил Алексеевич Кореньков родился в селе Тюрлема Чебоксарского уезда Казанской губернии (ныне – деревня  Старая Тюрлема Козловского муниципального округа Чувашской Республики) в семье матроса казанской пристани «Самолёт».

C 1891 по 1893 годы жил вместе с отцом на берегу Волги. Был свидетелем голодных смертей во время голода 1891–1892 годов. Отец желал обучить своего сына грамоте и сам учил его чтению. В 1892 году он устраивает сына в инородческую школу в деревне Тюрлема. Ученика, знавшего читать и писать, сразу же переводят во второй класс, но из-за частых болезней и пропусков Г. Кореньков не смог в полной мере усвоить курс школы. По этой причине с июля 1895 года, когда отец посылает его в Симбирскую чувашскую школу, ему сначала приходится в течение двух лет проучиться в женском училище при школе. Только в 1897 году он переходит в обычный первый класс для мальчиков.

Во время учёбы в Симбирской школе Г. Кореньков начинает интересоваться поэзией, читает А. С. Пушкина, М. Ю. Лермонтова и других русских писателей и поэтов. Начинает писать стихи и сам – на русском и чувашском языках. Был одним из зачинателей «Кружка молодых поэтов». По окончании Симбирской школы его отправляют работать в качестве помощника учителя в школу деревни Тюрлема. Г.  Кореньков начинает переводить произведения русских писателей, пишет свои собственные. Слух о том, что он пишет стихи, доходит до редактора газеты «Хыпар» Н. В. Никольского, по просьбе которого поэт отправляет для печати свои стихи и переводы басен И. А. Крылова.

Умер в 1949 году, похоронен в родной деревне.

Супруга –  Коренькова Мария Михайловна (1893–1958), заслуженный учитель Чувашской АССР.

Сыновья: Борис Гаврилович (1923–1996), Аркадий Гаврилович (1924–1943).

В 1903–1948 годах Гаврил Алексеевич Кореньков  работал в Тюрлеминской сельской школе учителем русского и чувашского языков, завучем, директором (с 1934 года).

Работал над переводом и составлением учебных пособий. Его «Рабочая книга по математике» и «Учебник русского языка», а также «Санитарипе гигиена навыкěсем» («Санитарные и гигиенические навыки»), вышедшая из печати в 1929 году, стали неотъемлемой частью чувашской начальной школы.

Первое стихотворение Г. Коренькова под названием «Ěçлеме чěнни» («Призыв к труду») было опубликовано в газете «Хыпар» в 1906 году.

Г. Кореньков занимался и переводческой деятельностью. Из-под его пера вышли переводы произведений А. С. Пушкина, М. Ю. Лермонтова, казахского поэта Джамбула. Гаврил Алексеевич известен тем, что одним из первых перевёл на чувашский язык басни И. А. Крылова. В его переводе около 20 басен великого баснописца были опубликованы в республиканских периодических изданиях. Среди них: «Стрекоза и муравей» («Шăрчăкпа кăткă»), «Лебедь, щука и рак» («Акăш, рак, çăрттан»), «Лиса и виноград» («Тилěпе иçěм çырли») и многие другие.

Всего Г. Кореньков написал около 150 стихотворений, 5 поэм и 6 стихотворных сказок, где представлена пейзажная, любовная и философская лирика, сатира. Поэт писал в разных жанрах – от лирических миниатюр и маленьких эпиграмм до лироэпических произведений. К сожалению, большая часть его произведений не была освещена в периодической печати. Тем не менее, литературное наследие Гаврила Алексеевича было бережно сохранено в фондах Государственного архива печати Чувашской Республики.

С точки зрения образности первые стихи Г. Коренькова характеризуются тяготением к пейзажной лирике с мажорными идиллическими мотивами (к примеру, стихотворение «Пирӗн ял», датированное 1901 годом).

Как и многие другие деятели чувашской литературы дореволюционного периода, многие стихотворения поэта посвящены просветительской тематике.

В честь поэта названа улица в его родной деревне Старая Тюрлема.

Награжден орденом Ленина, Г. Кореньков – заслуженный учитель школы РСФСР (1945).